Factorisation d'un polynôme - Corrigé

Énoncé

On note \(P\) le polynôme défini sur \(\mathbb{C}\) par :   \(P(z) = z^3 - 2 z^2 - z + 14\) .  Déterminer une factorisation de \(P\) dans \(\mathbb{C}\) sous la forme d'un produit de deux polynômes de degré au moins 1.

Solution

On a \(P(-2)=0\) , donc on cherche \(a,b\) et \(c\) des réels tels que \(P(z)=(z+2)(az^2+bz+c)\) .

On trouve \(P(z)=(z+2)(z^2 - 4z + 7)\) .

Et finalement \(P(z) = (z+2)(z-2+\sqrt{3}i)(z-2-\sqrt{3}i)\) .